?

Log in

No account? Create an account

Занимательная математика - Общество дровосеков Бердичева по изучению Мишны

Jul. 15th, 2015

04:12 pm - Занимательная математика

Previous Entry Share Next Entry

Рассмотрим запись произвольного вещественного числа A в виде непрерывной дроби:
a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + 1/...))),
где все am, кроме, быть может, a0 — целые положительные числа. В общем случае (когда A - иррациональное и не выражается с помощью квадратных корней) последовательность am - бесконечная и непериодическая.

Для получения рациональных приближений этого числа можно отбрасывать "хвост" непрерывной дроби, оставляя в каком-нибудь месте просто am вместо am + 1/...

Можно задаться вопросом: если мы хотим представить число A с точностью n десятичных значащих цифр в виде рационального числа, сколько в среднем элементов непрерывной дроби придется использовать?

Ответ на этот вопрос дает теорема Лохса. Оказывается, практически ровно столько же, сколько значащих цифр, даже чуть меньше (отношение количества элементов дроби к желаемому количеству значащих цифр - примерно 0.97, так что взяв m = n, не ошибёшься).

Логично, что у нас десять пальцев. Ох уж этот мне хитрый автор симулятора.

Comments:

[User Picture]
From:juan_gandhi
Date:July 16th, 2015 12:12 am (UTC)
(Link)
10 из соображений: 1) симметрии, б) химии (там какой-то ген бывает только пяти видов).
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:July 16th, 2015 12:20 am (UTC)
(Link)
Насчет симметрии не понял, а результат получается из-за (физ)химии в том смысле, что экспрессия какого-то гена волнообразная по "пластине плавника", отчего "плавник" делится на сектора. Конкретно 5 получается из-за соотношения скоростей роста этого "плавника" и амплитуды экспрессии, и подвержено искажениям (полидактилия, синдактилия).
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:xaxam
Date:July 16th, 2015 05:43 am (UTC)
(Link)
Не "в среднем", а "для почти всех" чисел.

Приближение цепной дробью даёт самое лучшее приближение среди чисел с данным знаменателем, и оно, "как правило", лучше десятичной дроби. Теорема Лохса, однако, говорит, что "плохие" числа имеют положительную меру (зависящую от плохизны).
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:July 16th, 2015 05:48 pm (UTC)
(Link)
Что почти для всех - это понятно, а "в среднем" - если рассматривать произвольные приближения с конечной точностью.
Что считать "плохими" числами? Те, которые цепной дробью приближаются хуже, чем десятичной? Ну так это понятно: все числа, у которых в цепном разложении в знаменателях только единицы и двойки, будут такими.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:fatoff
Date:July 16th, 2015 06:37 am (UTC)
(Link)
Глупая мысль вслух: чем-то напоминает арифметическую компрессию.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:July 16th, 2015 05:48 pm (UTC)
(Link)
Есть такое дело. :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:i_eron
Date:July 16th, 2015 05:35 pm (UTC)
(Link)
Я думал, что по-немецки chs читается кс, а не хс.
Про пальцы очень здорово. Редкая математика, у которой я могу понять хотя бы утверждение.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:July 16th, 2015 05:53 pm (UTC)
(Link)
Я думал, что по-немецки chs читается кс, а не хс.

Рейкстаг?

(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:i_eron
Date:July 16th, 2015 06:02 pm (UTC)
(Link)
Когда после s идёт t, немцы так радуются, что всё меняют.

Зекс, а не зехс. Фукс, а не фухс.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:July 16th, 2015 06:09 pm (UTC)
(Link)
В товарищах википедийцах, по крайней мере, насчет русской записи фамилии согласья нет (это не математик, но для удобства предположим, что это одна и та же фамилия).
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:i_eron
Date:July 16th, 2015 07:14 pm (UTC)
(Link)
Кажется, правильно всё-таки "Затц фон Лохс":
http://de-en.dict.cc/?s=Lochs

(там можно послушать). Не знаю, почему.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:July 16th, 2015 09:59 pm (UTC)
(Link)
Интуиция меня не подкачала! :) Но, скажем, Цусрыдук Wechsler я столь же не задумываясь записал бы как Векслер, конечно.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:yuri_yurkevich
Date:July 18th, 2015 03:31 pm (UTC)
(Link)
А я сегодня научился считать на десяти своих пальцах до 63-

Раньше только до 45 умел, ну в крайнем случае до 55.
Но оказалось, что если использовать в качестве старшего счётчика разрядов фигу, точнее, фигу передвижную, то можно и дальше не запутываться при пальцевом счёте.
(Reply) (Thread)