July 15th, 2015

lenin

Занимательная математика

Рассмотрим запись произвольного вещественного числа A в виде непрерывной дроби:
a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + 1/...))),
где все am, кроме, быть может, a0 — целые положительные числа. В общем случае (когда A - иррациональное и не выражается с помощью квадратных корней) последовательность am - бесконечная и непериодическая.

Для получения рациональных приближений этого числа можно отбрасывать "хвост" непрерывной дроби, оставляя в каком-нибудь месте просто am вместо am + 1/...

Можно задаться вопросом: если мы хотим представить число A с точностью n десятичных значащих цифр в виде рационального числа, сколько в среднем элементов непрерывной дроби придется использовать?

Ответ на этот вопрос дает теорема Лохса. Оказывается, практически ровно столько же, сколько значащих цифр, даже чуть меньше (отношение количества элементов дроби к желаемому количеству значащих цифр - примерно 0.97, так что взяв m = n, не ошибёшься).

Логично, что у нас десять пальцев. Ох уж этот мне хитрый автор симулятора.