?

Log in

No account? Create an account

Занимательная математика - Общество дровосеков Бердичева по изучению Мишны

Aug. 14th, 2017

01:04 am - Занимательная математика

Previous Entry Share Next Entry

Взять, к примеру, факториал.
Однозначные неинтересно, а начнем с 4! = 24. Сумма его цифр - 6, и смотри-ка, 24 делится на 6. А дальше?

5! = 120 делится на 1+2=3
6! = 720 делится на 7+2=9
7! = 5040 делится на 5+4=9
8! = 40320 делится на 4+3+2=9
9! = 362880 делится на 3+6+2+8+8=27
10! - очевидно
11! = 39916800 делится на 3+9+9+1+8+8=36
...

Слабо доказать, что это верно для факториалов всех целых чисел?

Свойство нарушается для 432!

This entry was originally posted at http://spamsink.dreamwidth.org/1057702.html. Please comment there using OpenID.

Comments:

From:ald1976
Date:August 14th, 2017 12:53 pm (UTC)
(Link)
432, 444, 453, 458, 474, 476, 485, 489, 498, 507, 509, 532, 539, 541, 548, 550, 552, 554, 555, 556, 560, 565, 567, 576, 593, 597, 603, 608, 609, 610, 611, 612, 613, 624, 630, 632, 634, 640, 645, 657, 663, 665, 683, 685, 686, 692, 698, 703, 706, 708, 714

И.т.д., OEIS A066419
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:August 14th, 2017 04:24 pm (UTC)
(Link)
Логично, что раз сказано "432! is the first that is not", то в OEIS должна быть соответствующая последовательность.
(Reply) (Parent) (Thread)
From:ald1976
Date:August 14th, 2017 10:27 pm (UTC)
(Link)
1. Если ввести в OEIS 432 - получите 2885 последовательностей, среди которых долго будете искать нужную. Возможно можно заставить OEIS выдать те последовательности, которые начинаются с 432 - будет проще, но я не умею этого делать. Знаете как - расскажите, пожалуйста.

Так что нужно найти 444, а потом уже искать в OEIS. Тогда она окажется в числе 38 последовательностей, которые можно просмотреть.

Если найти еще и 453 - тогда OEIS выдаст единственную и неповторимую нужную последовательность.

2. Найти 444 и 453 очень просто. Надо поискать в OEIS последовательность 1,2,6,6,3,9,9 и немного поработать с ее членами, начиная с любезно указанного Вами 432-го.

3. То, что исходное утверждение неверно, очевидно на берегу и без счета. Дело в том, что n! >> 10^n, начиная со сравнительно небольших n. Сумма цифр в факториале вполне может быть, для многих факториалов, много больше, чем n. И чудо, если во всех таких суммах не окажется в примарном разложении простых, больших, чем n.

Ну а после уже OEIS, как в пункте 2, только искать с начала, а не с 432.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:yatur
Date:August 14th, 2017 10:54 pm (UTC)
(Link)
О, отлично, спасибо.

Мне периодически в дидактических целях нужен пример утверждения, которое верно для всех "простых" примеров, но начинает сбоить на больших числах. Есть, разумеется, другие варианты, но они куда более заумные, а этот легко запомнить.
(Reply) (Thread)
From:ald1976
Date:August 14th, 2017 11:19 pm (UTC)
(Link)
У многочлена x^2+x+41 значения в -40,-39,....0,1,...,39 все простые. Можно попросить доказать, что он принимает только простые значения [что очевидно неверно].

Edited at 2017-08-14 11:30 pm (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:yatur
Date:August 15th, 2017 01:11 am (UTC)
(Link)
Это скорее ответ любителям порассуждать в стиле "мы уже 50 раз видели, что Х дает Y, значит Х всегда дает Y и нечего нам морочить голову". В такой ситуации число 432 выглядет намного круче числа 40 :)
(Reply) (Parent) (Thread)
From:ald1976
Date:August 15th, 2017 08:15 am (UTC)
(Link)
Доказать без счета не получится либо очень сложно. То, что я выше написал - просто пояснение о том, почему утверждение о делимости факториалов наверняка неверно.

А счет, в котором фигурирует 432! и его цифры, потребует компьютера и длинной арифметики - в 432! около тысячи цифр.

Для многочлена Эйлера компьютер не нужен. Найти число, которое будет составным, либо доказать, что не бывает многочленов со всеми простыми значениями - тоже пара пустяков. Для продвинутых можно усмотреть связь с одноклассными мнимыми квадратичными полями - так что сюжет и на старших курсах универа прокатить может.

Edited at 2017-08-15 08:15 am (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:yatur
Date:August 15th, 2017 12:21 pm (UTC)
(Link)
У нас разные дидактические цели :)

Я имею дело с программистами, они не имеют пиитета перед компьютером и 1000 цифрами, а вот про многочлен Эйлера они вряд ли слышали. А за одноклассные минимые квадратичные поля они, пожалуй, и побить могут.
(Reply) (Parent) (Thread)
From:ald1976
Date:August 15th, 2017 02:07 pm (UTC)
(Link)
Да не в пиетете дело, а в возможности обойтись без компьютерных костылей.

Компьютер сломается [споткнется на вычислительной сложности глупого алгоритма] там, где человек пролезет. Конечно не в задаче перебора 80-ти чисел.


А про Эйлера и поля можно и не упоминать :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:e2pii1
Date:September 2nd, 2017 06:18 pm (UTC)
(Link)
Круто !

Кто то ведь проверял, искал (хотя это нехитро, для длинной арифметики есть gnu library)
(Reply) (Thread)