?

Log in

No account? Create an account

Шутошный математический вопрос - Общество дровосеков Бердичева по изучению Мишны

Jan. 18th, 2017

05:02 pm - Шутошный математический вопрос

Previous Entry Share Next Entry

Есть известный математический результат, говорящий, что бесконечная сумма 1+2+3+4+… равна -1⁄12.
Так вот, безотносительно к нему, но по его мотивам.

Рассмотрим первые цифры в десятичной записи степеней двойки:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, …
Так продолжается довольно долго, и эта последовательность на первый взгляд похожа на периодическую …1-2-4-8-1-3-6-1-2-5…, но не такова: например, 246 (70368744177664) начинается на 7, а не на 6. Поняв, почему так происходит,
Напишите заключительные 10 цифр в этой бесконечной последовательности.

Комменты скринятся.

Tags:

Comments:

[User Picture]
From:alexanderr
Date:January 19th, 2017 02:56 am (UTC)
(Link)
могу вычислить 1!+2!+3!+ ....
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:January 19th, 2017 03:07 am (UTC)
(Link)
Что-то типа 0.697195... ? Или надо единицу вычесть?

Edited at 2017-01-19 03:08 am (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:alexanderr
Date:January 19th, 2017 12:34 pm (UTC)
(Link)
разные способы будут давать разные ответы. ну, например, можно через гамма функции. если n!=\int exp(-x)*x^n, то получается \int exp(-x)/(1-x). ну понятно, что интеграл от 0 до бесконечности, т.е. в единице полюс. вот этот полюс можно преодолеть, например, если взять "главное значение": двигаться к нему с обоих сторон одновременно и там как раз + и - бесконечности удобно сократятся. "перенормируются" если по-научному. то, что останется после перенормировки это и есть ответ.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:January 20th, 2017 06:27 am (UTC)
(Link)
Я примерно так и сделал с помощью вольфрамальфы. Но это, насколько я понимаю, получилось 0! + 1! + 2! + ...
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:vgramagin
Date:January 19th, 2017 03:49 am (UTC)
(Link)
Ну почему перехлестывает - очевидно, 1.024 в степени 4 при умножении на 6 как раз дают 7.

А вопрос про последние 10 цифр я не очень понял - в какой последовательности?
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:January 19th, 2017 06:41 am (UTC)
(Link)
В последовательности первых десятичных цифр степеней двойки от натуральных чисел. Вопрос выглядит парадоксально, но на него уже дан один ожидаемый ("правильный") ответ.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:ilya_dogolazky
Date:January 19th, 2017 06:19 am (UTC)
(Link)
Все девятки наверное, типа 2х(9абвгд...)=9...... если цифра а не слишком маленькая
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:January 19th, 2017 06:40 am (UTC)
(Link)
Речь про последовательность первых цифр разных степеней. И она будет примерно похожа на типичный участок, т.е. в ней будет или 1-2-4, или 1-2-5, или 1-3-6, или 1-3-7, и т.п.

Так-то конечно, всегда найдется конкретная степень двойки, начинающаяся на любую наперед заданную последовательность цифр.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:ilya_dogolazky
Date:January 19th, 2017 06:50 am (UTC)
(Link)
"всегда найдется конкретная степень двойки, начинающаяся на любую наперед заданную последовательность цифр" --- это таки очевидно? мне чота не очень. Но по крайней мере из этого следует, что будет любое наперёд заданное количество девяток в роли первых цифр идущих подряд любого наперёд заданного количства степеней двойки
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:January 19th, 2017 07:05 am (UTC)
(Link)
Это очевидно, потому что найдется целое кратное любого иррационального числа Х, дробная часть которого попадает в любой наперед заданный интервал в [0; 1). На пальцах: предположим, что никогда не попадет; тогда, следовательно, если прибавить Х, то и в некий другой интервал не попадет, если еще прибавить - то еще в один, и т.п. Так как каждый интервал ненулевой длины, а число - иррациональное, то в конце концов один из таких интервалов накроет 0 или дробную часть Х, и мы придем к противоречию.
Да, любая сколь угодно длинная последовательность девяток может быть, но это же будет не конец последовательности - в конце концов дальше будет единица, и так далее, а я спрашиваю про самый конец.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:ilya_dogolazky
Date:January 19th, 2017 07:10 am (UTC)
(Link)
да ну, куда уж конечнее. Вот доказательство: рассмотрим самое большое натуральное число (скажете его нет? конечно есть, оно называется "стопицот" -- любой блоггер с детского сада знает). Ну и если подряд идут стопицот девяток, то уж это конечно самая уж разконечная концевая последовательность.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:January 19th, 2017 07:12 am (UTC)
(Link)
Нет же, потому что после них точно будет единица, и т.д.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:ilya_dogolazky
Date:January 19th, 2017 07:13 am (UTC)
(Link)
так после стопицта уже ничего нет, на то оно и стопицот, ультимативное так сказать числецо
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:January 19th, 2017 09:42 am (UTC)
(Link)
Ответ неверный.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:sevabashirov
Date:January 20th, 2017 01:57 am (UTC)
(Link)
В этой последовательности не может быть двух одинаковых цифр подряд. Более того, даже через одну позицию одинаковые не могут быть.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:ilya_dogolazky
Date:January 20th, 2017 06:23 am (UTC)
(Link)
объясните почему так?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:sevabashirov
Date:January 20th, 2017 11:35 am (UTC)
(Link)
Число 1хххх, умноженное на 2, дает 2хххх или 3хххх
2хххх --> 4хххх / 5хххх
3хххх --> 6хххх / 7хххх
4хххх --> 8хххх / 9хххх
5хххх, 6хххх, 7хххх, 8хххх, 9хххх --> 1ххххх с увеличением разрядности

Как видим, с какой начальной цифры не начинай, к ней же можно вернуться минимум за 3 шага, но не за 2 и не за 1.
(Reply) (Parent) (Thread)