?

Log in

No account? Create an account

Вероятностная задачка - Общество дровосеков Бердичева по изучению Мишны

Mar. 2nd, 2016

11:56 am - Вероятностная задачка

Previous Entry Share Next Entry

Даны две неотличимые на вид монеты, об одной из которых известно, что орлом и решкой она выпадает равновероятно, а о другой - что орлом и решкой она выпадает с вероятностями p и 1-p, но неизвестно, какой стороной чаще. Какое количество бросков обеих монет нужно потребовать, чтобы гарантировать различение двух монет с вероятностью ошибки не более r? Изменится ли ответ, и если да, то как, если известно, какой стороной фальшивая монета выпадает чаще?

Задачу я только что придумал, поэтому сам ответа на большинство вопросов задачи не знаю.

Tags:

Comments:

[User Picture]
From:ormuz
Date:March 3rd, 2016 02:17 am (UTC)
(Link)
binomial test называется.
не изменится.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:March 3rd, 2016 02:19 am (UTC)
(Link)
Рассмотрите p=0 и r=0.49.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:ormuz
Date:March 3rd, 2016 02:34 am (UTC)
(Link)
3 броска
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:March 3rd, 2016 02:46 am (UTC)
(Link)
Что-то многовато.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:ormuz
Date:March 3rd, 2016 04:28 am (UTC)
(Link)
может с нулем специальный случай.
(Reply) (Parent) (Thread)
From:ext_1745607
Date:March 4th, 2016 01:09 am (UTC)
(Link)
При двух бросках у нас 50% вероятности, что обе монеты будут падать на одну сторону в первом и втором броске. Если же мы знаем, на какую сторону падает фальшивая монета, то вероятноть того, что другая монета два раза упадет на туже сторону уже 1/4. То есть двух бросков хватает.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:March 4th, 2016 01:33 am (UTC)
(Link)
Если мы знаем, какой стороной вверх падает фальшивая монета, то достаточно одного броска, чтобы сократить вероятность ошибки до 25%.
(Reply) (Parent) (Thread)
From:ext_1745607
Date:March 4th, 2016 10:36 pm (UTC)
(Link)
зависит от того каков алгоритм выбора и как считать ошибку. Если вы после одного броска и выпадания двух монет на одну и ту же сторону случайно выбраете одну из них и при этом ошибаетесь -- тогда да, общая вероятность такого сценария 25%. Если же бросаете монеты до тех пор, пока не сможете точно гарантировать вероятность ошибки <=r (что в случае p=0 идентично r=0), то среднее число таких бросков - 2.

Тут как и во всем тервере дьявол в деталях.
Все зависит от точной формулировке задачи и от способа подсчета ошибки. Например, если вы знаете p заранее и потребуете найти минимальное число бросков, при котором *для каждого* эксперимента ошибка будет гарантированно <=0.49, то ответ будет -- бесконечность. Ибо нельзя исключить n одинаковых выпаданий, хотя вероятность этого конечно мала.
Если же вы считаете среднюю ошибку по всему ряду или какую-нибудь оценку этой средней ошибки -- то ответы будут другие. Или же вы каждый раз делаете столько бросков, сколько надо для <=r и потом потом считаете среднее числу бросков по ряду. Или p неизвестно заранее (то есть при бросании), но его можно использовать для подчета минимального числа бросков -- будет совсем другой ответ.
(Reply) (Parent) (Thread)
From:ext_1745607
Date:March 4th, 2016 01:02 am (UTC)
(Link)
> не изменится.
а разве это как раз не разница между one-tailed и two-tailed test? Если мы знаем какой стороной монета выпадает чаще и проверяем только одну сторону, то вероятность ошибки при том же количестве бросков будет в два раза меньше.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:ormuz
Date:March 4th, 2016 04:14 am (UTC)
(Link)
да, точно
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:amigofriend
Date:March 3rd, 2016 02:24 am (UTC)
(Link)
pr вероятности детектед!
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:March 3rd, 2016 02:47 am (UTC)
(Link)
Вероятно.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:phoonzang
Date:March 3rd, 2016 09:47 am (UTC)
(Link)
Есть красивое обобщение на применение метода expectation maximization.

Даны N монет с p_i, на каждом шаге случайно выбирается одна из них и подбрасывается M раз. Как после S шагов определить, какая монета подбрасывалась на каждом шаге и какие у монет были p_i?
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:sab123
Date:March 16th, 2016 12:16 am (UTC)
(Link)
Оказалось, что в вопросе Машинного Учения весьма краегуольной является похожая задача:

Есть кривая монета, мы производим N бросков и записываетм результат. По этому результату предлагается оценить, насколько крива монета.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:March 16th, 2016 12:21 am (UTC)
(Link)
Получится распределение вероятностей кривизны. Ответом должна мода служить?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:sab123
Date:March 16th, 2016 12:39 am (UTC)
(Link)
Там ищут, какова вероятность того, что ошибка определения кривизны будет меньше некоего значения. Ну или наоборот, какая максимальная ошибка получится при заданной вероятности.
(Reply) (Parent) (Thread)