?

Log in

No account? Create an account

Статистическое - Общество дровосеков Бердичева по изучению Мишны

Oct. 13th, 2014

01:39 am - Статистическое

Previous Entry Share Next Entry

Если две попытки (с возвратом) достать N случайных элементов из множества Х приводят к тому, что мощность пересечения двух полученных подмножеств в среднем равна K, то какова мощность множества Х?

Comments:

[User Picture]
From:maksa
Date:October 13th, 2014 09:20 am (UTC)
(Link)
N × K−1/2?
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:maksa
Date:October 13th, 2014 11:22 am (UTC)
(Link)
Таки нет, ниже правильно. С размерностью промахнулся.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:October 13th, 2014 09:22 am (UTC)
(Link)
N2/K
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:October 13th, 2014 11:32 pm (UTC)
(Link)
Меня позабавило, что handwaving типа рассуждений из соображений размерности приводит к этому же результату.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:janatem
Date:October 13th, 2014 01:21 pm (UTC)
(Link)
Выразить K через X и N -- дело нехитрое, но как свернуть сумму и потом решить уравнение относительно X, сразу не вижу.
(Reply) (Thread)
(Deleted comment)
[User Picture]
From:scholar_vit
Date:October 13th, 2014 03:41 pm (UTC)
(Link)
Простенько, но приятно.

Вероятность того, что данный предмет вытащили в обеих попытках по результатам эксперимента $K/X$. Вероятность того, что предмет вытащили в одной попытке при $N$ извлечениях с возвратом, равна $1-(1-1/X)^N$. Имеем $[1-(1-1/X)^N]^2=K/X$.

Асимптотики легко получить в двух предельных случаях: $X\gg N$ и $X\ll N$. В первом случае $X=N^2/K$, во втором случае (из мешка с пятью шариками сто раз берем по шарику с возвратом) $X=K$. Оба предельных случая очевидны.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:October 13th, 2014 11:31 pm (UTC)
(Link)
Теперь мы знаем, что своячных тем 2010-2014 года в базе порядка 400. :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:ny_quant
Date:October 13th, 2014 10:21 pm (UTC)
(Link)
Из соображений размерности можно ответить сразу, но это своего рода жульничество. А простое решение можно предложить такое.

Вот, выбрали мы первый раз N случайных элементов, положили обратно и начали тянуть по второму разу. Для каждого элемента выбранного во второй совокупности вероятность попадания в N равно N/X. Поэтому мат ожидание мощности пересечения N^2/X.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:October 13th, 2014 11:28 pm (UTC)
(Link)
Меня позабавило, что решение из соображений размерности оказывается правильным.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:ny_quant
Date:October 14th, 2014 12:40 am (UTC)
(Link)
А что тут такого забавного? Так обычно и бывает.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:October 14th, 2014 12:54 am (UTC)
(Link)
Еще бывают безразмерные коэффициенты. :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:ny_quant
Date:October 14th, 2014 02:29 am (UTC)
(Link)
Это да. В принципе надо проверять. А тогда уж лучше просто решить по-честному.
(Reply) (Parent) (Thread)