?

Log in

No account? Create an account

СЯУ - Общество дровосеков Бердичева по изучению Мишны

Jan. 6th, 2014

02:29 pm - СЯУ

Previous Entry Share Next Entry

Или "Чего вы не знали о многогранниках, и не имели в виду спрашивать".

Возьмем тетраэдр. Он обладает двумя полезными в хозяйстве свойствами: во-первых, у него нет диагоналей; во-вторых, любые две грани у него смежные, т.е. у них есть общее ребро. А бывают ли еще многогранники, обладающие этими же свойствами? Оказывается, да.

В 1949 году венгерский математик Акош Ча́сар (Császár Ákos) обнаружил такой, с семью вершинами, топологически эквивалентный тору. В нем каждая пара вершин соединена ребром. Картинка всей его прелести не передаст, поэтому ее в статье и нет; надо видеть OGG анимацию на вики-странице.

Понятно, что дуальный к нему многогранник, у которого каждой вершине Часарова многогранника соответствует грань, и наоборот, будет обладать вторым искомым свойством: у него любые две грани будут смежными. Чтобы его построить, потребовалось 28 лет: в 1977 году венгерскому математику Лайошу Си́лаши (Szilassi Lajos) это удалось:


Или такой вопрос: любой ли многогранник можно хоть как-нибудь разрезать на тетраэдры, с вершинами, совпадающими с вершинами данного? Выпуклый - понятно, а у невыпуклого всегда ли найдется выпуклый "кусок", который можно по очереди отрезать? Оказывается, нет, и в 1928 году немецкий математик Эрих Шёнхардт (Erich Schönhardt) построил контрпример:


Как только я осознал его устройство, я понял, что за многие годы построил бесчисленное множество моделей этого многогранника из кока-кольных алюминиевых банок: у пустой банки нужно сделать три "стрелки" по образующей под углом 120 градусов друг от друга, спрямить три получившиеся части боковой поверхности до плоскости, наметить на каждой из плоскостей диагональ, а затем, держа банку за дно и за верх, повернуть одно относительно другого примерно на 60 градусов (в свое время я назвал получившуюся концептуальную скульптуру "Жажда").

И еще: http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/untetra/

Comments:

[User Picture]
From:galkao
Date:January 6th, 2014 11:17 pm (UTC)
(Link)
Пирамида Мебиуса какая-то:-) Помню, в свое время склеила из бумаги "бутылку Клейна", но даже с макетом большинство окружающих так и не смогли понять, почему у нее - только одна поверхность:-)
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:January 7th, 2014 02:59 am (UTC)
(Link)
Если из бумаги, то неудивительно. На стеклянной бутылке Клейна гораздо лучше это показывать.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:galkao
Date:January 7th, 2014 03:03 am (UTC)
(Link)
О! Теперь я наконец-то смогу объяснить всем, почему мне ничего не нужно дарить:-) А "бутылку Клейна" они мне все равно не подарят:-)))
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:January 7th, 2014 05:08 pm (UTC)
(Link)
Я себе купил, в серванте стоит.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:marco_polo_sf
Date:January 7th, 2014 05:11 am (UTC)
(Link)
Действительно, очень полезные в хозяйстве свойства :)
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:maksa
Date:January 7th, 2014 09:39 am (UTC)
(Link)
Вспоминая гёмбёц, задумываешься, почему именно венгры так настойчивы и успешны в этой области науки.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:January 7th, 2014 05:08 pm (UTC)
(Link)
И не только гёмбёц, а и кубик Рубика, всё одно к одному.
(Reply) (Parent) (Thread)