?

Log in

No account? Create an account

Пространственное воображение - Общество дровосеков Бердичева по изучению Мишны

Jun. 20th, 2010

12:08 pm - Пространственное воображение

Previous Entry Share Next Entry

Пространственное воображение - это прекрасное чувство! Но когда это чувство начисто отсутствует у человека, приходится прибегать к помощи зала.

Представьте себе кусок дерева. Как его можно распилить на кубики, разрезая параллельными равноудаленными плоскостями, умозрительно понятно. А вот что получится, если аналогичным образом попытаться распилить кусок дерева на тетраэдры?

Tags:

Comments:

[User Picture]
From:mynine
Date:June 20th, 2010 07:23 pm (UTC)
(Link)
Тетраэдрами нельзя заполнить объем без промежутков, так что и пытаться нечего. Из правильных многогранников только куб подходит для задачи.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 07:30 pm (UTC)
(Link)
Можно. Но неправильными.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:mynine
Date:June 20th, 2010 07:39 pm (UTC)
(Link)
Что есть неправильный тетраэдр ?
А неправильный куб ?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 07:46 pm (UTC)
(Link)
Что есть неправильный треугольник?
А неправильный квадрат?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:mynine
Date:June 20th, 2010 07:51 pm (UTC)
(Link)
Квадрат не может быть неправильным. Как и тетраэдр. По определению.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 07:59 pm (UTC)
(Link)
Треугольная пирамида также называется тетраэдром (Большая школьная энциклопедия).

Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Совокупность точек, лежащих на всевозможных отрезках, соединяющих одну из данных точек с точками треугольника, образованного тремя остальными, называется тетраэдром (Геометрия: систематический курс. Пособие для учителей средней школы).

Четыре плоскости, находящиеся в общем положении, определяют различные части пространства, одна из которых ограничена, заключена между четырьмя треугольными гранями и называется тетраэдром (Математика и правдоподобные рассуждения).

Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, у которой все ребра одинаковы (Тесты и экзаменационные задания по математике за курс средней школы).
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:mynine
Date:June 20th, 2010 08:03 pm (UTC)

убедили

(Link)
И какими одинаковыми тетраэдрами можно заполнить пространство ?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 08:08 pm (UTC)

Re: убедили

(Link)
С вершинами (0,0,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,1,1), например.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:mynine
Date:June 20th, 2010 08:26 pm (UTC)
(Link)
А вы уверены ? У меня не получается, да и больше нигде я не нашел инфы что это возможно.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 08:41 pm (UTC)
(Link)
Сперва делим на кубы.

Потом берем отдельно каждый куб.

Каждую грань рвем на британский флаг -- делим на 8 треугольников.

Получившиеся 48 треугольников будут основаниями одинаковых маленьких пирамидок-тетраэдров, с общей вершиной в центре куба.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:mynine
Date:June 20th, 2010 08:55 pm (UTC)
(Link)
Не получится так, тетраэдры обязательно разные будут...
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 08:57 pm (UTC)
(Link)
Одинаковые (в том сиысле, что конгруэнтные).
Если хочется совсем одинаковых (без зеркальных отражений), то вместо британского флага надо брать андреевский.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:mynine
Date:June 20th, 2010 09:00 pm (UTC)
(Link)
Не получится. Вы можете свою задачу упростить - вы все равно делите куб на восемь кубов - и каждый из них делите на шесть частей. Как разделить куб на 6 одинаковых тетраэдров ?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 09:06 pm (UTC)
(Link)
Куб 0 < xi < 1 делится на 6 одинаковых тетраэдров тремя плоскостями xi = xj.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:mynine
Date:June 20th, 2010 09:57 pm (UTC)
(Link)
На одинаковые не делится - только на зеркально симметричные, что не подходит под условия.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:galkao
Date:June 20th, 2010 10:13 pm (UTC)
(Link)
А где в условии было сказано, что тетраэдры должны быть одинаковыми? :-)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 10:26 pm (UTC)
(Link)
Под какие такие условия?

И вот же вариант с 24 совсем одинаковыми тетраэдрами: http://spamsink.livejournal.com/330402.html?thread=3202978#t3202978
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:mynine
Date:June 20th, 2010 10:34 pm (UTC)
(Link)
Посмотрите выше - я спросил про одинаковые тетраэдры.

Вот про 24 уже ближе к телу, только они имеют вовсе не такие координаты, как вы мне вначале бодро объявили.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:galkao
Date:June 20th, 2010 09:30 pm (UTC)

Re: убедили

(Link)
По крайней мере, 4 штуки таких есть (я слышала про 5, но не могу ссылок найти в интернете). Вот в этой статье 4 из них описаны:
http://journals.cambridge.org/action/displayFulltext?type=1&fid=3165704&jid=PEM&volumeId=41&issueId=-1&aid=3140548
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:mynine
Date:June 20th, 2010 09:48 pm (UTC)

Re: убедили

(Link)
Насколько я понял - они не одинаковые а конгруэнтные или симметричные. Это мы и так знаем.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:June 20th, 2010 08:41 pm (UTC)
(Link)
Я знаю, поэтому и написал "попытаться". Вопрос, что же получится вдобавок к тетраэдрам.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:mynine
Date:June 20th, 2010 08:49 pm (UTC)
(Link)
Тут легко к тетраэдрам получить пирамиды четырехугольные - делим пространство на треугольные призмы а потом призмы режем поперек на тетраэдры и пирамиды.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 08:56 pm (UTC)
(Link)
Бесконечную правильную треугольную колбасу можно нарезать на одинаковые тетраэдрические ломтики.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:mynine
Date:June 20th, 2010 08:57 pm (UTC)
(Link)
Как? На одинаковые не получится.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 09:07 pm (UTC)
(Link)
А вот не скажу. Думайте!
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:mynine
Date:June 20th, 2010 10:03 pm (UTC)
(Link)
Сами думайте.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 10:27 pm (UTC)
(Link)
До свидания.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:June 20th, 2010 10:58 pm (UTC)
(Link)
Ну можно, но кого бы эти неправильные тетраэдры интересовали?

Edited at 2010-06-20 11:05 pm (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 11:15 pm (UTC)
(Link)
Тетрапак?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:June 20th, 2010 11:55 pm (UTC)
(Link)
Судя по склейкам, тетрапак делался из трубы, перпендикулярными пережатиями.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 21st, 2010 12:13 am (UTC)
(Link)
По крайней мере в частном случае и "колбасный" тетраэдр так делать можно -- у него бывает 4 одинаковых ребра и 2 скрещивающихся тоже одинаковых (но другой длины).
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:galkao
Date:June 20th, 2010 08:59 pm (UTC)
(Link)
Ну, тетраэдры с октаэдрами давно используются в промышленности для жесткого заполнения пространства.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:galkao
Date:June 20th, 2010 09:15 pm (UTC)
(Link)
Вот тут иллюстрации есть, более-менее понятен принцип заполнения. Правда, не уверена, что получится разрезать так же:-)
http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedral-octahedral_honeycomb
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:June 20th, 2010 10:38 pm (UTC)
(Link)
У октаэдров угол между гранями не тот.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 07:30 pm (UTC)
(Link)
Что такое "аналогичным образом"?

Набор проскостей { xi=n, xi±xj=n } ?

Или еще и x1±x2±x3=n ?

Или еще что-то?
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:June 20th, 2010 08:44 pm (UTC)
(Link)
Наборами плоскостей, параллельных каждой грани тетраэдра, и отстоящих друг от друга на расстояние, равное высоте тетраэдра.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 08:52 pm (UTC)
(Link)
Так будут вперемежку тетраэдры и октаэдры.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:June 20th, 2010 10:39 pm (UTC)
(Link)
У октаэдров угол между гранями другой.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 10:42 pm (UTC)
(Link)
Но в сумме с углом тетраэдра дает ровно 180o, а то бы не вышло.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:June 20th, 2010 10:53 pm (UTC)
(Link)
Что заполнить пространство таким набором можно, я вижу, но похоже, что мое разрезание октаэдры располовинит.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 20th, 2010 11:06 pm (UTC)
(Link)
Не располовинит. Вот тут именно это разрезание и есть: http://en.wikipedia.org/wiki/File:TetraOctaHoneycomb-VertexConfig.svg
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:June 20th, 2010 11:58 pm (UTC)
(Link)
Теперь понятно, почему плохое пространственное воображение подводит: очень сложно поверить, что октаэдр той же высоты, что и тетраэдр.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:i_eron
Date:June 21st, 2010 07:46 am (UTC)
(Link)
Представьте себе большой тетраэдр. Отрежьте у него четыре вершины - маленьких тетраэдра со ребром вдвое меньшим, чем у большого. Останется октаэдр. Это, кстати, хороший способ понять, почему объём октаэдра вчетрверо больше объёма тетраэдра с той же длиной ребра.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:ygam
Date:June 20th, 2010 09:03 pm (UTC)
(Link)
Нужно попробовать на сыре.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:June 20th, 2010 11:59 pm (UTC)
(Link)
Будь у меня большой кусок сыра, это был бы вариант.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 21st, 2010 12:25 am (UTC)
(Link)
Сыр, нарезанный на тетраэдры, считается принесенным в жертву науке.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:spamsink
Date:June 21st, 2010 01:13 am (UTC)
(Link)
А на кубики?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kcmamu
Date:June 21st, 2010 01:15 am (UTC)
(Link)
Рубику.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:potan
Date:June 21st, 2010 10:56 am (UTC)
(Link)
Ничего не получится.
Если от тетраэдра отпилить по тетраэдру с углов - получится октаэдр, который на тетраэдру не разрежешь.
(Reply) (Thread)